御制數理精蘊五十三卷 > 下編卷三十四 <<
設如有銀一百兩分給大小二等匠人共一百名大匠人每人給銀一兩五錢小匠人每人給銀五錢問大小匠人各若干
法借一根為大匠人數則小匠人為一百少一根以一兩五錢與一根相乘得十五根為大匠人共銀數又以五錢與一百少一根相乘得五十兩【作五百錢】少五根為小匠人共銀數兩銀數相加得五十兩【作五百錢】多十根【原少五根加十五根則反多十根也】與銀一百兩【作一千錢】相等五十兩與一百兩各減去五十兩則餘十根與五十兩相等十根既與五十兩相等則十五根必與七十五兩【即七百五十錢】相等前既以十五根為大匠人共銀數則與十五根相等之七十五兩即大匠人之共銀數爰以大匠人每人所得一兩五錢除之得五十人與一根相等即大匠人之數於共一百人内減大匠人五十人餘五十人即小匠人之數以五錢乘之得二十五兩即小匠人之共銀數也【此和較比例法用方程法算之亦可】
設如有銀一百兩分賞馬步兵共一百名馬兵一人賞三兩步兵三人賞一兩問馬步兵各若干
法借一根為步兵所得銀數則馬兵所得銀數即為三根相加得四根為馬步兵共得銀數是為四根與一百兩相等四根既與一百兩相等則一根必與二十五兩相等即步兵所得銀數於一百兩内減之餘七十五兩為馬兵所得銀數以每人三兩歸之得二十五即馬兵人數於一百名内減之餘七十五即步兵人數也【此和較比例法】
設如雞兔同籠但知共頭三十六共足一百問雞兔各若干
法借一根為兔數則雞為三十六少一根以兔四足乘兔一根得四根為兔之共足數以雞二足乘雞三十六少一根得七十二少二根為雞之共足數兩數相加得七十二多二根與一百相等七十二與一百各減七十二則餘二根與二十八相等二根既與二十八相等則一根必與十四相等即兔數於共三十六内減兔十四餘二十二即雞數兔十四以四足乘之得五十六為兔共足數雞二十二以二足乘之得四十四為雞共足數相加得一百以合原數也【此和較比例法】
設如有人行路乘馬乘船共六十三日乘馬日行一百六十里乘船日行一百四十四里乘船所行之里數比乘馬所行之里數為十八倍問乘馬乘船之日數各若干
法借一根為乘馬之日數則乘船之日數為六十三日少一根以一根與一百六十里相乘得一百六十根為乘馬所行之里數以六十三日少一根與一百四十四里相乘得九千零七十二里少一百四十四根為乘船所行之里數乘船所行里數既為乘馬所行里數之十八倍則以十八乘乘馬所行之里數一百六十根得二千八百八十根是為二千八百八十根與九千零七十二里少一百四十四根相等二千八百八十根與少一百四十四根各加一百四十四根得三千零二十四根與九千零七十二里相等三千零二十四根既與九千零七十二里相等則一百六十根必與四百八十里相等前既以一百六十根為乘馬所行之里數則與一百六十根相等之四百八十里即乘馬所行之里數以乘馬每日所行一百六十里除之得三日與一根相等即乘馬所行之日數以三日與六十三日相減餘六十日為乘船所行之日數以乘船每日行一百四十四里乘之得八千六百四十里即乘船所行之里數為乘馬所行之里數之十八倍也【此和較比例法用疊借互徵法算之亦可】
設如有青緞藍緞二色共七十疋青緞每疋長四十七尺藍緞每疋長六十尺其藍緞總尺數比青緞總尺數多二十七尺問青緞藍緞二色各若干法借一根為青緞疋數則藍緞為七十疋少一根各以尺數乘之則青緞之總尺數得四十七根藍緞之總尺數得四千二百尺少六十根於藍緞總尺數内減去比青緞所多之二十七尺得四千一百七十三尺少六十根是為青緞四十七根與藍緞四千一百七十三尺少六十根相等四十七根與少六十根各加六十根得一百零七根與四千一百七十三尺相等一百零七根既與四千一百七十三尺相等則四十七根必與一千八百三十三尺相等前既以四十七根為青緞之總尺數則與四十七根相等之一千八百三十三尺即青緞之總尺數以每疋長四十七尺除之得三十九疋與一根相等即青緞之疋數以三十九疋與七十疋相減餘三十一疋即藍緞之疋數以三十一疋與六十尺相乘得一千八百六十尺即藍緞之總尺數比青緞多二十七尺也【此和較比例法】
設如有人買絹紬二色共價銀一百二十七兩四錢絹一尺價銀七分紬一尺價銀一錢四分其絹之尺數比紬之尺數為五倍問絹紬尺數各若干法借一根為紬之尺數則絹之尺數為五根以紬價一錢四分【作一十四分】乘一根得一十四根為紬共價以絹價七分乘五根得三十五根為絹共價兩數相加共得四十九根是為四十九根與一百二十七兩四錢相等四十九根既與一百二十七兩四錢相等則十四根必與三十六兩四錢相等前既以十四根為紬共價則與十四根相等之三十六兩四錢即紬之共價以紬每尺價一錢四分除之得二百六十尺與一根相等即紬之尺數五因之得一千三百尺即絹之尺數也【此和較比例法】
設如甲有十成銀一百二十四兩丙有三成銀不知數但知將二色銀鎔於一處則俱為五成銀問三成銀幾何
法借一根為丙銀數因二色銀鎔於一處俱為五成故以五成與丙銀三成相減餘二成為每兩所少之數以五成與甲銀十成相減餘五成為每兩所多之數乃以每兩所少二成乘丙銀一根得二根以每兩所多五成乘甲銀一百二十四兩得六百二十成是為二根與六百二十成相等【丙之所少即甲之所多其數相等也】以丙銀每兩少二成除之則得一根與三百一十兩相等前既借一根為丙銀數則與一根相等之三百一十兩即丙之銀數也【此和較比例法】
設如有銀大小共九百二十四錠重二百七十六兩大錠重三分兩之一小錠重七分兩之二問大小錠各若干
法借一根為大錠數則小錠為九百二十四錠少一根因大錠重三分兩之一小錠重七分兩之二其分母不同乃以兩分母三與七相乘得二十一為共母數又以小錠分母七互乘大錠分子一得七即變三分之一為二十一分之七為大錠之重數又以大錠分母三互乘小錠分子二得六即變七分之二為二十一分之六為小錠之重數乃以一根與大錠分子七相乘得七根為大錠之重數以九百二十四錠少一根與小錠分子六相乘得五千五百四十四少六根為小錠之重數兩數相加得五千五百四十四多一根為共重數又各重數既皆通為二十一分則共重二百七十六兩亦以分母二十一通之得五千七百九十六是為五千五百四十四多一根與五千七百九十六相等五千五百四十四與五千七百九十六各減五千五百四十四則餘一根與二百五十二相等即大錠之共數與共九百二十四錠相減餘六百七十二為小錠之共數以大錠重三分兩之一與大錠共數相乘得八十四兩為大錠之共重數以小錠重七分兩之二與小錠共數相乘得一百九十二兩為小錠之共重數相加得二百七十六兩以合原數也【此和較比例法】
設如衆人雇船每人出銀一兩二錢則少四兩四錢每人出銀一兩五錢則多八兩二錢問人數及船價銀各若干
法借一根為人數以一根與一兩五錢相乘得十五根則船價銀為十五根少八兩二錢又以一根與一兩二錢相乘得十二根則船價銀又為十二根多四兩四錢此二數為相等兩邊各加八兩二錢得十五根與十二根多十二兩多錢相等兩邊再各減十二根則餘三根與十二兩六錢相等三根既與十二兩六錢相等則一根必與四兩二錢相等前既借一根為人數則此四兩二錢即為四十二人為雇船之人數以每人出一兩二錢乘之得五十兩零四錢再加四兩四錢得五十四兩八錢為船價以每人出一兩五錢乘之得六十三兩減去八兩二錢亦為五十四兩八錢兩數相同也【此盈朒法】
設如有銀買緞二色下號緞每疋價銀八兩上號緞每疋價銀十一兩若俱買下號者則銀多二百九十六兩若俱買上號者則銀多三十二兩問緞數及銀數各若干
法借一根為緞數以一根與十一兩相乘得十一根為上號緞共價則共銀為十一根多三十二兩又以一根與八兩相乘得八根為下號緞共價則共銀為八根多二百九十二兩此二數為相等兩邊各減三十二兩得十一根與八根多二百六十四兩相等兩邊再各減八根則餘三根與二百六十四兩相等三根既與二百六十四兩相等則一根必與八十八兩相等前既借一根為緞數則此八十八兩即為八十八疋為緞之總數以每疋八兩乘之得七百零四兩為下號緞共價數加多二百九十六兩得一千兩為共有銀數以每疋十一兩乘之得九百六十八兩為上號緞共價數加多三十二兩亦得一千兩兩數相同也【此盈朒法】
設如有井一口不知其深有繩一條不知其長但知取繩六分之一比井深少三尺四寸取繩四分之一比井深適等問井深及繩長各若干
法借二十四根為繩長數【兩分母相乘之數】取其四分之一得六根則井深即為六根又取其六分之一得四根則井深又為四根多三尺四寸此二數為相等兩邊各減四根得二根與三尺四寸相等二根既與三尺四寸相等則一根必與一尺七寸相等而二十四根必與四丈零八寸相等即繩之長數也取其六分之一得六尺八寸再加三尺四寸共得一丈零二寸為井深或取其四分之一亦得一丈零二寸兩數相同也【此盈朒法】
設如有人買房用本銀三分之二則比房價多五十九兩用本銀五分之二則比房價少四十九兩八錢問本銀房價各若干
法借十五根為本銀數【兩分母相乘之數】以用本銀三分之二比房價多五十九兩計之則房價為十根少五十九兩以用本銀五分之二比房價少四十九兩八錢計之則房價又為六根多四十九兩八錢此二數為相等兩邊各加五十九兩得十根與六根多一百零八兩八錢相等兩邊再各減去六根則餘四根與一百零八兩八錢相等四根既與一百零八兩八錢相等則一根必與二十七兩二錢相等而十五根必與四百零八兩相等即本銀數取其三分之二得二百七十二兩減多五十九兩得二百一十三兩為房價數又將本銀取其五分之二得一百六十三兩二錢加少四十九兩八錢亦得二百一十三兩兩數相同也【此盈朒法】
設如有銀分給二等人其上等人比下等人多一倍上等人比下等人每人多得四兩今欲與下等人每人三兩則銀多七十三兩每人四兩則銀少二十兩問人數及銀數各若干
法借一根為下等人數則上等人數為二根以一根與四兩相乘得四根為下等人所得共銀數以二根與八兩【下等每人四兩上等多四兩故每人八兩】相乘得十六根為上等人所得共銀數兩數相加得二十根為上下二等人所得共銀數則原銀數即為二十根少二十兩又以一根與三兩相乘得三根為下等人所得共銀數以二根與七兩相乘得十四根為上等人所得共銀數兩數相加得十七根為上下二等人所得共銀數則原銀數即為十七根多七十三兩此兩數為相等兩邊各加二十兩得二十根與十七根多九十三兩相等兩邊再各減十七根則餘三根與九十三兩相等三根既與九十三兩相等則一根必與三十一兩相等前既借一根為下等人數則此三十一兩即為三十一人為下等人數倍之得六十二人即上等人數以下等三十一人用三兩乘之得九十三兩以上等六十二人用七兩乘之得四百三十四兩兩數相加共得五百二十七兩再加所多七十三兩得六百兩為原銀數若以下等三十一人用四兩乘之得一百二十四兩以上等六十二人用八兩乘之得四百九十六兩兩數相加共得六百二十兩減去所少二十兩亦得六百兩兩數相同也【此盈朒法】
設如有人分銀不言人數亦不言銀數但知每四人分銀十八兩則銀少八兩每三人分銀十一兩則銀多十二兩問人數及銀數各若干
法借十二根為人數以四人分銀十八兩計之則每人應得四兩五錢爰以四兩五錢乘十二根得五十四根為共分銀之數而原銀即為五十四根少八兩以三人分銀十一兩計之則每人應得三兩又三分兩之二爰以三兩又三分兩之二乘十二根得四十四根為共分銀之數而原銀又為四十四根多十二兩此兩數為相等兩邊各加八兩得五十四根與四十四根多二十兩相等兩邊各減四十四根得十根與二十兩相等十根既與二十兩相等則十二根必與二十四兩相等前既借十二根為人數則此二十四兩即為二十四人為共人數也以三人為一率十一兩為二率二十四人為三率求得四率八十八兩加多十二兩共一百兩為原銀數或以四人為一率十八兩為二率二十四人為三率求得四率一百零八兩減少八兩亦得一百兩兩數相同也【此雙套盈朒法】
設如有一商人販緞不言每疋價銀之數亦不言每疋稅銀之數但知販緞八十疋納稅用緞四疋則多銀二兩販緞三百一十疋納稅用緞十四疋則少銀六兩五錢問每疋價銀及稅銀幾何
法借一根為緞一疋之價銀數以納稅用緞四疋多銀二兩計之則緞八十疋之稅銀數為四根少銀二兩以納稅用緞十四疋少銀六兩五錢計之則緞三百一十疋之稅銀數為十四根多銀六兩五錢此兩緞數不相等故難用比例須用互乘法以八十疋與三百一十疋相乘得二萬四千八百疋為共緞數乃以三百一十疋乘四根少銀二兩得一千二百四十根少銀六百二十兩為二萬四千八百疋之稅銀數又以八十疋乘十四根多銀六兩五錢得一千一百二十根多五百二十兩亦為二萬四千八百疋之稅銀數此兩緞數既為相等故乘出之稅銀數亦為相等兩邊各加六百二十兩得一千二百四十根與一千一百二十根多一千一百四十兩相等兩邊再各減一千一百二十根則餘一百二十根與一千一百四十兩相等一百二十根既與一千一百四十兩相等則一根必與九兩五錢相等即緞一疋之價銀數以緞四疋與銀九兩五錢相乘得三十八兩減去多二兩餘三十六兩即緞八十疋之稅銀數以八十疋除三十六兩得四錢五分即緞一疋之稅銀數以四錢五分與緞三百一十疋相乘得一百三十九兩五錢即緞三百一十疋之稅銀數又以緞十四疋與九兩五錢相乘得一百三十三兩再加少六兩五錢亦得一百三十九兩五錢兩數相同也【此雙套盈朒法】
設如有銀一千二百零九兩令甲乙二人分之取甲四分之一與乙三分之一相加即與甲銀等問二人各得幾何
法借十二根【兩分母相乘數】為甲銀數則乙銀為一千二百零九兩少十二根取甲銀四分之一為三根取乙銀三分之一為四百零三兩少四根相加得四百零三兩少一根是為十二根與四百零三兩少一根相等十二根與少一根各加一根得十三根與四百零三兩相等十三根既與四百零三兩相等則十二根必與三百七十二兩相等即甲銀數於總銀内減甲銀數餘八百三十七兩即乙銀數取甲銀四分之一得九十三兩取乙銀三分之一得二百七十九兩相加得三百七十二兩與甲銀等也【此借衰互徵法用方程法算之亦可】
設如有銀一千兩令甲乙丙三人分之乙所得之數倍於甲仍多三十兩丙所得之數倍於乙問每人各得若干
法借一根為甲銀數則乙為二根多三十兩丙為四根多六十兩三數相併共得七根多九十兩而與一千兩相等九十兩與一千兩各減九十兩餘七根與九百一十兩相等七根既與九百一十兩相等則一根必與一百三十兩相等即甲所得銀數倍之再加三十兩得二百九十兩為乙所得銀數又倍之得五百八十兩為丙所得銀數也【此借衰互徵法用方程法算之亦可】
設如甲乙丙三人分銀六千兩乙得甲三分之一丙得乙二分之一問三人各得幾何
法借一根為甲銀數則乙銀為三分根之一丙銀為六分根之一三數相加得六分根之九【以甲一根為六分則乙為六分根之二丙為六分根之一共得六分根之九即一根半】與六千兩相等各以六乘之得九根與三萬六千兩相等九根既與三萬六千兩相等則一根必與四千兩相等即甲銀數三分之得一千三百三十三兩又三分兩之一為乙銀數又二分之得六百六十六兩又三分兩之二為丙銀數也
又法借一根為丙銀數則乙銀為二根甲銀為六根相加得九根與六千兩相等九根既與六千兩相等則一根必與六百六十六兩又三分兩之二相等即丙銀數倍之得一千三百三十三兩又三分兩之一為乙銀數三因之得四千兩即甲銀數也【此借衰互徵法】
設如有金銀錫銅四色不言重數但知共數五分之二為銅數金銀錫共數七分之四為錫數金銀共數八分之五為銀數金重三千零二十四兩問四色各重若干
法借二百八十根為共數【用三分母連乘之數取其可以度盡也】取其五分之二得一百一十二根為銅數與二百八十根相減餘一百六十八根為金銀錫之共數取其七分之四得九十六根為錫數與一百六十八根相減餘七十二根為金銀之共數又取其八分之五得四十五根為銀數與七十二根相減餘二十七根為金數是為二十七根與三千零二十四兩相等二十七根既與三千零二十四兩相等則一根必與一百一十二兩相等四十五根必與五千零四十兩相等即銀數九十六根必與一萬零七百五十二兩相等即錫數一百一十二根必與一萬二千五百四十四兩相等即銅數四數相加共得三萬一千三百六十兩以所借共重二百八十根與每一根之一百一十二兩相乘亦得三萬一千三百六十兩為四色之共數也【此借衰互徵法】
設如有銀三百五十六兩分與三等人一等五人二等四人三等三人一等所得倍於二等内少二兩二等所得倍於三等又多四兩問三等人每人各得幾何
法借一根為三等一人所得銀數則二等一人所得銀數為二根多四兩一等一人所得銀數為四根多六兩以各等共人數因之則三等所得共銀數為三根二等所得共銀數為八根多十六兩一等所得共銀數為二十根多三十兩三數相加共得三十一根多四十六兩為與三百五十六兩相等三十一根多四十六兩與三百五十六兩各減去四十六兩則餘三十一根與三百一十兩相等三十一根既與三百一十兩相等則一根必與十兩相等即三等一人所得銀數倍之加四兩得二十四兩即二等一人所得銀數又倍之減二兩得四十六兩即一等一人所得銀數三等三人共得三十兩二等四人共得九十六兩一等五人共得二百三十兩三數相加共得三百五十六兩以合原數也【此借衰互徵法】
設如甲丙二人共有米三百八十四石甲納官八分之一丙納官六分之一共納五十四石問二人原米及納官米各若干
法借一根為甲納米數則丙納米為五十四石少一根將甲納米一根八因之得八根為甲原米數丙納米五十四石少一根六因之得三百二十四石少六根為丙原米數相加得三百二十四石多二根為甲丙共米數是為三百二十四石多二根與三百八十四石相等三百二十四石與三百八十四石各減去三百二十四石餘二根與六十石相等二根既與六十石相等則一根必與三十石相等即甲所納米數八因之得二百四十石為甲原米數以甲原米數與三百八十四石相減餘一百四十四石為丙原米數六歸之得二十四石即丙所納米數也【此疊借互徵法用方程法算之亦可】
設如甲乙二人不言本銀若干但知以乙本銀三分之一與甲本銀相加再加六十兩共得一千兩以甲本銀五分之一與乙本銀相加亦得一千兩問二人本銀各幾何
法借十五根【兩分母相乘數】為乙本銀數以乙三分之一與甲本銀相加又加六十兩共得一千兩計之則甲本銀應得九百四十兩少五根取其五分之一則為一百八十八兩少一根以甲本銀五分之一一百八十八兩少一根與乙本銀十五根相加得一百八十八兩多十四根與一千兩相等一邊一百八十八兩一邊一千兩各減去一百八十八兩則得十四根與八百一十二兩相等十四根既與八百一十二兩相等則一根必與五十八兩相等前既借十五根為乙本銀數乃以十五乘之得八百七十兩即乙本銀數取其三分之一得二百九十兩與一千兩相減又減六十兩餘六百五十兩即甲本銀數也【此疊借互徵法用方程法算之亦可】
設如甲乙二商不言本銀若干但知各得利銀九十兩其甲之本利共銀三倍於乙之本銀乙之本利共銀二倍於甲之本銀問每人本銀幾何
法借三根為甲之本銀數加利銀九十兩得三根多九十兩為甲之本利共銀數甲之本利共銀既三倍於乙之本銀則乙之本銀數即為一根多三十兩再加利銀九十兩得一根多一百二十兩為乙之本利共銀數亦為甲之本銀之二倍也乃以甲之本銀三根倍之得六根與乙之一根多一百二十兩相等六根與一根各減去一根則餘五根與一百二十兩相等五根既與一百二十兩相等則三根必與七十二兩相等即甲之本銀數加利銀九十兩得一百六十二兩三歸之得五十四兩為乙之本銀數以乙本銀五十四兩加利銀九十兩共一百四十四兩為甲之本銀之二倍也【此疊借互徵法用方程法算之亦可】
設如甲丙二人有銀不言其數但知甲銀加九兩為丙銀之三倍丙銀加七兩為甲銀之二倍問二人各銀若干
法借六根【三倍二倍相乘數】為甲銀數加九兩為六根多九兩甲銀加九兩既為丙銀之三倍則以三歸之得二根多三兩為丙銀數加七兩為二根多十兩丙銀加七兩既為甲銀之二倍則以二歸之得一根多五兩仍為甲銀數先借六根與今所得一根多五兩既同為甲銀數則其數必等六根與一根各減一根餘五根與五兩相等五根既與五兩相等則六根必與六兩相等即甲銀數加九兩得一十五兩三歸之得五兩即丙銀數加七兩得一十二兩即甲銀六兩之二倍也【此疊借互徵法用方程法算之亦可】
設如甲丙二人有銀不言其數但知將丙銀與甲二兩則甲銀為丙銀之二倍若將甲銀與丙三兩則丙銀為甲銀之三倍問二人各銀若干
法借六根【二倍三倍相乘數】為甲原銀數加丙與甲二兩得六根多二兩以丙銀與甲二兩則甲銀為丙銀之二倍計之則以六根多二兩半之得三根多一兩為丙餘銀數丙先以二兩與甲則丙之原銀必為三根多三兩加甲與丙二兩得三根多六兩以甲銀與丙三兩則丙銀為甲銀之三倍計之則以三根多六兩三歸之得一根多二兩為甲餘銀數甲先以三兩與丙則甲之原銀必為一根多五兩夫先借六根與今所得一根多五兩既
