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末部四
借根方比例【線類】
線類
設如有一竹竿長一丈欲分為大小兩分大分比小分多四尺問大小分各幾何
法借一根為小分則大分即為一根多四尺兩數相加得二根多四尺與一丈相等二根既多四尺乃減去所多四尺餘二根又於一丈内亦減去四尺餘六尺是為二根與六尺相等二根既與六尺相等則一根必與三尺相等前既借一根為小分則三尺即小分再加四尺得七尺即大分也【此減法也於一丈内減去大分所多之四尺餘六尺折半得三尺即小分之數此法甚易盖因借根比例之首先設此以明其理使人由淺以入深也】
設如有銀三百四十三兩分給衆匠其為首一人所得之銀與衆匠人數相等衆匠每人得銀六兩問共人數幾何
法借一根為為首一人所得之銀數亦即為衆匠之人數以衆匠之人數一根與六兩相乘得六根為衆匠之銀數相加得七根與三百四十三兩相等七根既與三百四十三兩相等則一根必與四十九兩相等即為首一人所得之銀數亦即衆匠之人數以四十九人與六兩相乘得二百九十四兩即衆匠所得共銀數再加為首一人所得銀數四十九兩得三百四十三兩以合原數也【此歸除法也以每匠得銀六兩加一兩得七兩以除共銀三百四十三兩即得四十九兩為為首一人所得銀數亦即衆匠之人數蓋為首一人之銀既與衆匠人數等若以為首一人之銀分給衆匠每人必多得一兩故於每人之銀數外加一兩以除共銀即得也】
設如有繩二條不言丈數但知其長短之比例同於九與五其相差之較與短繩除長繩所得之數相等問二繩各長若干
法借九根為長繩之數五根為短繩之數兩數相減餘四根以五根除九根得一八即一丈八尺是為四根與一丈八尺相等四根既與一丈八尺相等則一根必與四尺五寸相等九因之得四丈零五寸即長繩數五因之得二丈二尺五寸即短繩數以二丈二尺五寸與四丈零五寸相減餘一丈八尺以二丈二尺五寸除四丈零五寸亦得一丈八尺也【此歸除法】
設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲乙共銀九十兩乙丙共銀四十五兩甲丙共銀七十三兩問三人各銀幾何
法借一根為三人之總銀數以甲乙共銀九十兩計之則丙為一根少九十兩以乙丙共銀四十五兩計之則甲為一根少四十五兩以甲丙共銀七十三兩計之則乙為一根少七十三兩三數相加得三根少二百零八兩而與所借之一根相等三根少二百零八兩與一根各加二百零八兩得三根與一根多二百零八兩相等【三根少二百零八兩内加二百零八兩則補足三根整數一根上再加二百零八兩則為一根多二百零八兩矣】三根與一根再各減一根則餘二根與二百零八兩相等二根既與二百零八兩相等則一根必與一百零四兩相等即三人之總銀數總銀一百零四兩内減甲乙共銀九十兩餘一十四兩為丙銀數減乙丙共銀四十五兩餘五十九兩為甲銀數減甲丙共銀七十三兩餘三十一兩為乙銀數也【此加減法也如以三數相加得二百零八兩折半得一百零四兩即總銀數總銀數内減甲乙共銀數餘為丙銀數總銀數内減甲丙共銀數餘為乙銀數總銀數内減乙丙共銀數餘為甲銀數也】
設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲乙共銀數比丙銀多六十八兩乙丙共銀數比甲銀多一百兩丙甲共銀數比乙銀多一百二十四兩問三人各銀幾何
法借二根為三人之總銀數以甲乙共銀數比丙銀多六十八兩計之則甲乙共銀為一根多三十四兩丙銀為一根少三十四兩【二根既為三人之總銀數平分之則甲乙應得一根丙應得一根甲乙共銀比丙所多六十八兩平分之則甲乙應得三十四兩丙應得三十四兩甲乙所得為多丙所得為少故甲乙為一根多三十四兩丙為一根少三十四兩共相差為六十八兩下倣此】以乙丙共銀數比甲銀多一百兩計之則乙丙共銀為一根多五十兩甲銀為一根少五十兩以丙甲共銀數比乙銀多一百二十四兩計之則丙甲共銀為一根多六十二兩乙銀為一根少六十二兩乃以丙銀一根少三十四兩甲銀一根少五十兩乙銀一根少六十二兩三數相加得三根少一百四十六兩而與所借之二根相等三根少一百四十六兩與二根各加一百四十六兩得三根與二根多一百四十六兩相等三根與二根再各減二根則餘一根與一百四十六兩相等一根既與一百四十六兩相等則二根必與二百九十二兩相等即三人之總銀數前既以丙銀為一根少三十四兩乃於一百四十六兩内減三十四兩餘一百一十二兩即丙銀數甲為一根少五十兩乃於一百四十六兩内減五十兩餘九十六兩即甲銀數乙為一根少六十二兩乃於一百四十六兩内減六十二兩餘八十四兩即乙銀數也【此加減法也如以甲乙比丙所多之六十八兩與乙丙比甲所多之一百兩相加得一百六十八兩折半得八十四兩即乙銀數又以乙丙比甲所多之一百兩與甲丙比乙所多之一百二十四兩相加得二百二十四兩折半得一百一十二兩即丙銀數再以乙丙數相加得一百九十六兩内減去乙丙比甲所多之一百兩餘九十六兩即甲銀數也】
設如有銀分賞衆人不言銀數亦不言人數但知第一人得銀一兩又得餘銀之十分之一第二人得銀二兩又得餘銀之十分之一第三人得銀三兩又得餘銀之十分之一以下分賞之數皆準此例所得之銀皆相等問人數及銀數各幾何
法借一根為第一人所得餘銀之數則一兩多一根為第一人所得總銀數又第一人得餘銀十分之一則餘銀必為十根減去一根仍餘九根再於九根内減去第二人所得之二兩為九根少二兩以九根少二兩取其十分之一得十分根之九少二錢與第二人之二兩相加得二兩【作二十錢】多十分根之九少二錢為與第一人所得之一兩【作一十錢】多一根相等一兩多一根與二兩多十分根之九少二錢各加二錢得一兩二錢多一根與二兩多十分根之九相等多一根與多十分根之九各減十分根之九餘一兩二錢多十分根之一與二兩相等一兩二錢與二兩又各減一兩二錢則餘十分根之一與八錢相等十分根之一既與八錢相等則一根必與八兩相等即第一人所得餘銀之數乃以十因之得八十兩又加第一人所得之一兩共八十一兩即原共銀數第一人得一兩又加餘銀八十兩之十分之一八兩共為九兩第二人得二兩又加餘銀七十兩之十分之一七兩亦共為九兩第三人得三兩又加餘銀六十兩之十分之一六兩亦共為九兩第四人得銀四兩又加餘銀五十兩之十分之一五兩亦共為九兩第五人得銀五兩又加餘銀四十兩之十分之一四兩亦共為九兩第六人得銀六兩又加餘銀三十兩之十分之一三兩亦共為九兩第七人得銀七兩又加餘銀二十兩之十分之一二兩亦共為九兩第八人得銀八兩又加餘銀十兩之十分之一一兩亦共為九兩第九人得銀九兩銀盡無餘是共九人每人得銀九兩皆相等也【此加減法也以分母十與分子一相減餘九即人數以人數九自乘得八十一即總銀數也蓋惟人數與每人所得銀數相等者每人遞加一兩又各加餘銀十分之一所得始能相等故以人數自乘即得銀數也】
設如有人行路共二千八百里步行則日行七十里坐船則日行九十里乘馬則日行一百里但知步行之日數倍於坐船坐船之日數倍於乘馬問步行及坐船乘馬之日數各若干
法借一根為乘馬之日數則坐船之日數為二根步行之日數為四根以一根與一百里相乘得一百根為乘馬所行之里數以二根與九十里相乘得一百八十根為坐船所行之里數以四根與七十里相乘得二百八十根為步行所行之里數三數相加得五百六十根是為五百六十根與二千八百里相等五百六十根既與二千八百里相等則一百根必與五百里相等前既以一百根為乘馬所行之里數則與一百根相等之五百里即乘馬所行之里數以乘馬每日行一百里除之得五日與一根相等即乘馬所行之日數倍之得十日即坐船所行之日數以坐船每日行九十里乘之得九百里為坐船所行之里數再以坐船所行之十日倍之得二十日即步行之日數以步行每日行七十里乘之得一千四百里為步行之里數以乘馬所行之五百里與坐船所行之九百里及步行之一千四百里相併共得二千八百里以合原數也【此遞加比例法用借衰互徵法算之亦可】
設如一驢一馬一車共馱載一千五百二十斤馬所馱之數倍於驢仍多四十斤車所載之數倍於馬驢共馱之數却少四十斤問驢馬車各馱載幾何法借一根為驢所馱之數則馬為二根多四十斤車為六根多四十斤【驢馬數相併得三根多四十斤倍之為六根多八十斤内減去少四十斤則為六根多四十斤】三數相加得九根多八十斤是為九根多八十斤與一千五百二十斤相等多八十斤與一千五百二十斤各減去八十斤則餘九根與一千四百四十斤相等九根既與一千四百四十斤相等則一根必與一百六十斤相等即驢所馱之數倍之得三百二十斤再加四十斤得三百六十斤為馬所馱之數將馬驢所馱之數相加得五百二十斤倍之得一千零四十斤再減去四十斤得一千斤即車所載之數驢馱一百六十斤馬馱三百六十斤車載一千斤三數相加共一千五百二十斤以合原數也【此按數加減比例法用借衰互徵法算之亦可】
設如有銀三百八十五兩令十一人挨次遞加三兩分之問每人各得若干
法借一根為第一人所得銀數以十一乘之得十一根又以第一人至第十一人遞加三兩計之共得多一百六十五兩是為十一根多一百六十五兩與三百八十五兩相等十一根多一百六十五兩與三百八十五兩各減一百六十五兩則餘十一根與二百二十兩相等十一根既與二百二十兩相等則一根必與二十兩相等即第一人所得銀數遞加三兩則知第二人得二十三兩第三人得二十六兩第四人得二十九兩第五人得三十二兩第六人得三十五兩第七人得三十八兩第八人得四十一兩第九人得四十四兩第十人得四十七兩第十一人得五十兩各數相加共得三百八十五兩以合原數也【此按數加減比例法】
設如有銀四百七十四兩令十二人挨次遞加分之但知第一人得銀一十二兩問每人各得若干法借一根為每人遞加之數以第一人至第十二人遞加一根計之則得六十六根再以十二兩與十二人相乘得一百四十四兩是為六十六根多一百四十四兩與四百七十四兩相等六十六根多一百四十四兩與四百七十四兩各減去一百四十四兩則餘六十六根與三百三十兩相等六十六根既與三百三十兩相等則一根必與五兩相等即每人遞加之數以第一人所得十二兩加五兩即第二人所得十七兩依此遞加則知第三人得二十二兩第四人得二十七兩第五人得三十二兩第六人得三十七兩第七人得四十二兩第八人得四十七兩第九人得五十二兩第十人得五十七兩第十一人得六十二兩第十二人得六十七兩各數相加共得四百七十四兩以合原數也【此按數加減比例法】
設如一人借銀營利三次每次得利之後則還銀二百四十兩復以餘銀作本其每次所得利銀皆與每次本銀相等至第三次還銀後則銀盡無餘問原借銀若干
法借一根為原借本銀數則第一次利銀亦為一根是本利共二根除還銀二百四十兩則初次餘銀即為二根少二百四十兩再以二根少二百四十兩為第二次本銀數加第二次利銀則為四根少四百八十兩除還銀二百四十兩則第二次餘銀即為四根少七百二十兩再以四根少七百二十兩為第三次本銀數加第三次利銀則為八根少一千四百四十兩除還銀二百四十兩則第三次餘銀當為八根少一千六百八十兩八根少一千六百八十兩而銀盡無餘即八根與一千六百八十兩相等也八根既與一千六百八十兩相等則一根必與二百一十兩相等即原借本銀之數因每次所得利銀皆與本銀相等故以原借本銀之數倍之得四百二十兩除還二百四十兩餘一百八十兩為第二次本銀之數又倍之得三百六十兩又除還二百四十兩餘一百二十兩為第三次本銀之數又倍之得二百四十兩再還二百四十兩則銀恰盡無餘也【此按分遞折比例法用疊借互徵法算之亦可】
設如甲乙丙三人各作一器則甲六日可完乙八日可完丙二十四日可完今命三人同作問得日幾何
法借一千一百五十二根【三分母連乘之數】為三人同作完之日數以甲六日計之則甲每日得一百九十二根以乙八日計之則乙每日得一百四十四根以丙二十四日計之則丙每日得四十八根三數相加共得三百八十四根與一日相等三百八十四根既與一日相等則一千一百五十二根必與三日相等即三人同作完之日數也【此和數比例法】
設如甲丙二商不言本銀若干但知甲之本銀四倍於丙而甲本銀内減去七十二兩則兩人之銀適等問二人本銀各幾何
法借一根為丙本銀數則甲本銀為四根以甲本銀減七十二兩與丙銀相等計之則於甲本銀四根内減七十二兩是為甲四根少七十二兩與丙一根相等四根少七十二兩與一根各加七十二兩得四根與一根多七十二兩相等四根與一根各減去一根則餘三根與七十二兩相等三根既與七十二兩相等則一根必與二十四兩相等即丙本銀數再加七十二兩得九十六兩即甲本銀數也【此較數比例法】
設如甲乙二人分銀其數相等甲用過一百兩乙用過三十兩則乙之餘銀三倍於甲問二人原各分銀幾何
法借一根為原分銀之數則甲之餘銀為一根少一百兩乙之餘銀為一根少三十兩乙之餘銀既三倍於甲則將甲餘銀一根少一百兩三倍之為三根少三百兩即與乙之餘銀一根少三十兩相等矣三根少三百兩與一根少三十兩各加三百兩則得三根與一根多二百七十兩相等【甲三根少三百兩今加三百兩則補足三根整數乙一根少三十兩今加三百兩以三十兩補原少之數則止多二百七十兩】三根與一根各減去一根則餘二根與二百七十兩相等二根既與二百七十兩相等則一根必與一百三十五兩相等前既借一根為原分銀之數則此一百三十五兩即原分銀之數矣甲用過一百兩餘三十五兩乙用過三十兩餘一百零五兩故乙之餘銀三倍於甲也【此較數比例法用疊借互徵法算之亦可】
設如甲乙二人行路兩日行到初日乙所行之路四倍於甲次日甲所行之路三倍於乙但知初日乙行二百四十里甲行六十里問次日二人各行若干
法借一根為次日乙所行之路則甲次日所行之路為三根以初日乙行二百四十里與一根相加得一根多二百四十里為乙兩日所行之路以初日甲行六十里與三根相加得三根多六十里為甲兩日所行之路是為乙一根多二百四十里與甲三根多六十里相等一根與三根各減一根多二百四十里與多六十里各減六十里則餘一百八十里與二根相等一百八十里既與二根相等則九十里必與一根相等即次日乙所行之路三因之得二百七十里即次日甲所行之路以乙次日所行九十里與初日所行二百四十里相加得三百三十里以甲次日所行二百七十里與初日所行六十里相加亦得三百三十里是兩人同行俱到也【此較數比例法】
設如有甲乙二商各有本銀生理但知乙本銀比甲本銀多六兩數年得利之後甲本利共銀比原銀為十一倍乙本利共銀比原銀為七倍而兩人之銀適等問二人原有本銀各幾何
法借一根為甲本銀數則乙本銀為一根多六兩甲本利共銀既比原銀為十一倍則以十一乘一根得十一根為甲本利共銀數乙本利共銀既比原銀為七倍則以七乘一根多六兩得七根多四十二兩為乙本利共銀數是為甲十一根與乙七根多四十二兩相等十一根與七根各減七根餘四根與四十二兩相等四根既與四十二兩相等則一根必與十兩零五錢相等即甲原銀之數十一乘之得一百一十五兩五錢即甲本利共銀之數以六兩與十兩零五錢相加得一十六兩五錢即乙原銀之數七因之亦得一百一十五兩五錢為乙本利共銀之數也【此較數比例法用疊借互徵法算之亦可】
設如甲乙二人分銀其數相等甲銀外加三百兩乙銀外加六十五兩則甲之共銀三倍於乙問二人原各分銀若干
法借一根為原分銀之數則乙之共銀為一根多六十五兩甲之共銀為一根多三百兩甲之共銀既三倍於乙則將乙之共銀一根多六十五兩三倍之為三根多一百九十五兩即與甲之共銀一根多三百兩相等矣三根多一百九十五兩與一根多三百兩各減一百九十五兩則餘三根與一根多一百零五兩相等三根與一根再各減去一根則餘二根與一百零五兩相等二根既與一百零五兩相等則一根必與五十二兩五錢相等前既借一根為原分銀之數則此五十二兩五錢即原分銀之數矣以五十二兩五錢與六十五兩相加得一百一十七兩五錢為乙之共銀數以五十二兩五錢與三百兩相加得三百五十二兩五錢為甲之共銀數即乙之共銀之三倍也【四十六兩則一金球比一銀球之此較數】
設如金 【比】球十二 【例】銀球十八其輕重適等若 【法】將
銀球 【用】七換金 【疊】球七則銀球邊多三百二 【借】十
【互】二兩問金
球銀球各重幾 【徵】何法 【法】借一根為金
球換銀球之差數以 【算】七乘之 【之】得七根為七金球換七銀球之差數是為七根與三百二十二兩相等七根既與三
百二十二兩相等則一根 【亦】必與 【可】四十六兩相等即一金球一銀球相換之差數一金球一銀球相換之差數既為
重必差二十三兩一金 【二】球比一 【根】銀
球既重二十三兩則十 【與】二金球比【十】十二銀球必重二百七十六兩如以銀
球【二根各】再加六個即 【減】與十二 【去】金球等是銀球六個與二百七十六兩相等
也乃以六歸之得四 【十】十六兩即一銀
球之重數加二十三兩得 【八】六十九兩即一金球之重數以四十六兩與十八
銀球相乘得八百二十八兩以 【個】六十九兩與十二金球相乘【此較數比例法】
亦得八百二十八兩也設如一人買縀十二疋一人買紬三十二疋用銀適等但知緞每疋價比紬每疋價多六
兩問紬緞價銀各若干法借一根為紬價則緞價為一根多六兩各以總數乘之則紬總價得三十二根緞總價得十二根多七十二兩是為紬價三十二根與緞價十二根多七十二兩相等三十十二根則餘二十根與七十二兩相等二十根既與七十二兩相等則一根必與三兩六錢相等即紬每疋之價加緞每疋比紬每疋多六兩得九兩六錢即緞每疋之價以九兩六錢乘十二疋得一百一十五兩二錢為緞總價以三兩六錢乘三十二疋亦得一百一十五兩二錢為紬總價兩數適等也【此較數比例法】
設如甲乙二人共買緞一百疋甲買三十八疋止與銀三百一十二兩乙買六十二疋止與銀六百兩而兩人所欠之銀適等問緞價及欠銀各若干法借一根為緞每疋價銀數則甲三十八疋總銀數為三十八根又甲止與銀三百一十二兩則甲所欠之銀即為三十八根少三百一十二兩乙六十二疋總銀數為六十二根又乙止與銀六百兩則乙所欠之銀即為六十二根少六百兩是為甲三十八根少三百一十二兩與乙六十二根少六百兩相等少三百一十二兩與少六百兩各加六百兩得三十八根多二百八十八兩與六十二根相等【乙為六十二根少六百兩今加六百兩則補足六十二根整數甲為三十八根少三百一十二兩今加六百兩以三百一十二兩補原少之數則止多二百八十八兩也】又三十八根與六十二根各減去三十八根則餘二十四根與二百八十八兩相等二十四根既與二百八十八兩相等則一根必與十二兩相等即緞每疋之價銀數再以十二兩乘三十八疋得四百五十六兩即甲所買緞之總銀數内減甲與銀三百一十二兩餘一百四十四兩為甲所欠銀數又以十二兩乘六十二疋得七百四十四兩為乙所買緞之總銀數内減乙與銀六百兩亦餘一百四十四兩為乙所欠銀數也【此較數比例法】
設如有米分給大小二等工人但知小工人數比大工人數為七倍大工人給米一升二合小工人給米八合共給過米五石四斗四升問人數米數各幾何
法借一根為大工人之數則七根為小工人之數以一根與一升二合相乘【作一十二合】得一十二根為大工人米數以七根與八合相乘得五十六根為小工人米數兩米數相加得六十八根與五石四斗四升相等六十八根既與五石四斗四升相等則十二根必與九斗六升相等前既以十二根為大工人米數則與十二根相等之九斗六升即大工人之米數爰以大工人每人所得一升二合除之得八十人與一根相等即大工人之數七因之得五百六十即小工人之數以八合乘之得四石四斗八升即小工人之米數也【此和較比例法用疊借互徵法算之亦可】
