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卷二之首
界説二則
- 第一界
凡直角形之两邊函一直角者為直角形之矩線
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- 此例與筭法通如上圖：一邊得三、一邊得四，相乘得十二，則三偕四两邊為十二之矩數。
- 凡直角諸形之内四角皆直，故不必更言四邊及平行線，止名為直角形，省文也。
- 凡直角諸形不必全舉四角，止舉對角二字即指全形，如「甲乙丙丁」直角形，止舉「甲丙」或「乙丁」，亦省文也。
- 第二界
諸方形有對角線者其两餘方形任偕一角線方形為磬折形
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卷二
- 第一題
两直線任以一線任分為若干分其两元線矩内直角形與不分線偕諸分線矩内諸直角形并等
- 解曰：甲與乙丙两線如以乙丙三分之為乙丁丁戊戊丙題言甲偕乙丙矩線内直角形與甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩線内直角形并等
- 論曰：試作乙己直角形在乙丙偕等甲之
己丙矩線内作法于乙界作庚乙丙界作己丙两垂線俱與甲等為平 行次作庚己直線與乙丙平行次于丁戊两點作辛丁壬 戊两垂線與庚乙己丙平行一卷卅三其辛丁與庚乙壬 戊與己丙既平行則辛丁與壬戊亦平行而辛丁壬 戊與己丙等即亦與甲等一卷卅四如此則乙辛直角形 在甲偕乙丁矩線内丁壬直角形在甲偕丁戊矩線 内戊己直角形在甲偕戊丙矩線内并之則三矩内 直角形與甲偕乙丙两元線矩内直角形等
- 注曰：二卷前十題皆言線之能也能者謂其上能為直角形也如
十尺線其上能為百尺方形之類其説與筭數最近故九卷之十 四題俱以數明此十題之理今未及詳因題意難 顯畧用數明之如本題設两數當两線為六為十 以十任三分之為五為三為二六乘十為六十之 一大實與六乘五為三十及六乘三為十八六乘 二為十二之三小實并等
- 第二題
一直線任两分之其元線上直角方形與元線偕两分線两矩内直角形并等
- 解曰：甲乙線任两分于丙題言甲乙上直
角方形與甲乙偕甲丙甲乙偕丙乙两矩 線内直角形并等
- 論曰：試于甲乙線上作甲丁直角方形從丙點作己
丙垂線與甲戊乙丁平行一卷卅一其甲戊與甲乙既等 一卷卅四則甲己直角形在甲乙甲丙矩線内乙丁與甲 乙既等則丙丁直角形在甲乙丙乙矩線内而此两 形并與甲丁直角方形等
- 又論曰：試别作丁線與甲乙等其甲乙線既任
分于丙則甲乙偕丁矩線内直角形即甲乙上直角方形 與甲丙偕丁丙乙偕丁两矩線内直角形并等本篇一
- 注曰：以數明之設十數任两分之為七為三十乘
七為七十及十乘三為三十之两小實與十自之 百一大羃等
- 第三題
一直線任两分之其元線任偕一分線矩内直角形與 分餘線偕一分線矩内直角形及一分線上直角方 形并等
- 解曰：甲乙線任两分于丙題言元線甲
乙任偕一分線如甲丙矩内直角形不論 甲丙為長分為短分與分餘丙乙偕甲丙矩線内 直角形及甲丙上直角方形并等
論曰試作甲丁直角方形從乙界作乙 巳垂線與甲戊平行一卷卅一而于戊丁引 長之遇于己其甲戊與甲丙等則甲己直角形在元 線甲乙偕一分線甲丙矩内丙丁與甲丙等則丙己 直角形在一分線甲丙偕分餘線丙乙矩内而甲己 直角形與甲丙丙乙矩線内丙己直角形及甲丙上 甲丁直角方形并等
- 又論曰：試别作丁線與一分線甲丙等其甲乙
線既任分于丙則甲乙偕丁矩線内直角形即甲 乙偕甲丙矩線内直角形與丁偕丙乙即甲丙偕丙乙丁偕甲丙即甲 丙上直角方形两矩線内直角形并等本篇一
- 注曰：以數明之設十數任两分之為七為三如前
圖則十乘七為七十與七乘三之實二十一及七 自之羃四十九并等如後圖十乘三為三十與七 乘三之實二十一及三之羃九并等
- 第四題
一直線任两分之其元線上直角方形與各分上两直角方形及两分互偕矩線内两直角形并等
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解曰甲乙線任两分于丙題言甲乙線上直角方形 與甲丙丙乙線上两直角方形及甲丙偕丙乙丙乙 偕甲丙矩線内两直角形并等 |
論曰試于甲乙線上作甲丁直角方形次 作乙戊對角線次從丙作丙己線與乙丁 平行遇對角線于庚末從庚作辛壬線與甲乙平行 而分本形為四直角形即甲乙戊角形之甲乙甲戊 两邊等而甲乙戊與甲戊乙两角亦等一卷五夫甲乙 戊形之三角并與两直角等一卷卅二而甲為直角即甲 乙戊甲戊乙皆半直角一卷卅之二系依顯丁乙戊角形之 丁乙戊丁戊乙两角亦皆半直角則戊己庚外角與 内角丁等為直角一卷卅九而己戊度既半直角則己庚 戊等為半直角矣角既等則己庚己戊两邊亦等一卷 六庚辛辛戊亦等一卷卅四而辛巳為直角方形也依顯 丙壬亦直角方形也又庚辛與甲丙两對邊等一卷卅四 而乙丙與庚丙俱為直角方形邊亦等則辛己為甲 丙線上直角方形丙壬為丙乙線上直角方形也又 甲庚及庚丁两直角形各在甲丙丙乙矩線内也則 甲丁直角方形與甲丙丙乙两線上两直角方形及 两線矩内两直角形并等矣 系從此推知凡直角方形之角線形皆直角方形
又論曰甲乙線既任分于丙則元線甲乙上直 角方形與元線偕各分線矩内两直角形并等 本篇二又甲乙偕甲丙矩線内直角形與甲丙偕 丙乙矩線内直角形及甲丙上直角方形并等本篇三 甲乙偕丙乙矩線内直角形與丙乙偕甲丙矩線内 直角形及丙乙上直角方形并等本篇三則甲乙上直 角方形與甲丙丙乙上两直角方形及甲丙偕丙乙 丙乙偕甲丙矩線内两直角形并等
注曰以數明之設十數任两分之為七為三十之 羃百與七之羃四十九三之羃九及三七互乘之 實两二十一并等
- 第五題
一直線两平分之又任两分之其任两分線矩内直角 形及分内線上直角方形并與平分半線上直角方 形等
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解曰甲乙線两平分于丙又任两分于丁 其丙丁為分内線丙丁線者丙乙所以大于丁乙之較又甲丁所 以大于甲丙之較故曰分内線題言甲丁丁乙矩線内直 角形及分内線丙丁上直角方形并與丙 乙線上直角方形等 |
論曰試于丙乙線上作丙己直角方形次作乙戊對 角線從丁作丁庚線與乙己平行遇對角 線于辛次從辛作壬癸線與丙乙平行次 從甲作甲子線與丙戊平行末從壬癸線 引長之遇于子夫丁壬癸庚皆直角方形 本篇四之系而辛丁與丁乙两線等一卷卅四癸辛 與丙丁两線等則甲辛直角形在任分之甲丁丁乙 矩線内而癸庚為分内線丙丁上直角方形也今欲 顯甲辛直角形及癸庚直角方形并與丙己直角方 形等者于丙辛辛己相等之两餘方形一篇四三每加一 丁壬直角方形即丙壬及丁己两直角形等矣而甲 癸與丙壬两形同在平行線内又底等即形亦等一卷 卅六則甲癸與丁巳亦等也即又每加一丙辛直角形 則丑寅卯罄折形豈不與甲辛等次于罄折形又加 一癸庚直角方形豈不與丙巳直角方形等也而甲 辛癸庚两形并亦與丙己等也則甲丁丁乙矩線内 直角形及丙丁上直角方形并與丙乙上直角方形 等
注曰以數明之設十數两平分之各五又任分之 為八為二則三為分内數三者五所以大于二之較又八所以大于五之 較二八之實十六三之羃九與五之羃二十五等
- 第六題
一直線两平分之又任引増一直線共為一全線其全 線偕引増線矩内直角形及半元線上直角方形并 與半元線偕引増線上直角方形等
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解曰甲乙線两平分于丙又從乙引長之 増乙丁與甲乙通為一全線題言甲丁偕 乙丁矩線内直角形及半元線丙乙上直 角方形并與丙丁上直角方形等 |
論曰試于丙丁上作丙戊直角方形次作丁己對角 線從乙作乙庚線與丁戊平行遇對角線于辛次從 辛作壬癸線與丙丁平行次從甲作甲子線與丙己 平行末從壬癸線引長之遇于子夫乙壬癸庚皆直 角方形本篇四之系而乙丁與丁壬两線等一卷卅四癸辛與 丙乙两線等則甲壬直角形在甲丁偕乙丁矩線内 而癸庚為丙乙上直角方形也今欲顯甲壬直角形 及癸庚直角方形并與丙戊直角方形等者試觀甲 癸與丙辛两直角形同在平行線内又底等即形亦 等一卷卅六而丙辛與辛戊等一卷四三則辛戊與甲癸亦等 即又每加一丙壬直角形則丑寅卯磬折形與甲壬 等夫磬折形加一癸庚形本與丙戊直角方形等也 即甲壬癸庚两形并亦與丙戊等也則甲丁乙丁矩 線内直角形及丙乙上直角方形并豈不與丙丁上 直角方形等
注曰以數明之設十數两平分之各五又引増二 共十二二乘之為二十四及五之羃二十五與七 之羃四十九等
- 第七題
一直線任两分之其元線上及任用一分線上两直角 方形并與元線偕一分線矩内直角形二及分餘線 上直角方形并等
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解曰甲乙線任分于丙題言元線甲乙上 及任用一分線如甲丙上两直角方形并 不論甲丙為長分為短分與甲乙偕甲丙矩内直角形 二及分餘線丙乙上直角方形并等 |
論曰試于甲乙上作甲丁直角方形次作 乙戊對角線從丙作丙己線與乙丁平行 遇對角線于庚末從庚作辛壬線與甲乙平行夫辛 己丙壬皆直角方形本篇四之系而辛庚與甲丙等一卷卅四 即辛己為甲丙上直角方形也又甲戊與甲乙等即 甲己直角形在甲乙偕甲丙矩線内也又戊丁丁壬 與甲乙甲丙各等即辛丁直角形亦在甲乙偕甲丙 矩線内也夫甲己己壬两直角形即癸子丑罄折形及丙壬 直角方形并本與甲丁直角方形等今于甲己辛丁 两直角形并加一丙壬直角方形即與甲丁直角方 形加一辛巳直角方形等矣則甲乙甲丙 矩線内直角形二及丙乙上直角方形并 與甲乙上直角方形及甲丙上直角方形 并等也
注曰以數明之設十數任分之為六為四 如前圖十之羃百及六之羃三十六并與 十六互乘之两實百二十及四之羃十六等如後 圖十之羃百及四之羃十六并與十四互乘之两 實八十及六之羃三十六等
- 第八題
一直線任两分之其元線偕初分線矩内直角形四及 分餘線上直角方形并與元線偕初分線上直角方 形等
解曰甲乙線任分于丙題言元線甲乙 偕初分線丙乙矩内直角形四不論丙乙為長 分為短分及分餘線甲丙上直角方形并與 甲乙偕丙乙上直角方形等
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論曰試以甲乙線引増至丁而乙丁與 丙乙等于全線上作甲戊直角方形次 作丁巳對角線從乙作乙庚線與丁戊 平行遇對角線于辛次從丙作丙壬線 與甲巳平行遇對角線于癸次從辛作 子丑線與甲丁平行遇丙壬于寅末從 癸作卯辰線與戊己平行遇乙庚于巳 其卯壬寅巳乙丑俱角線方形一卷卅四之系 而卯癸與甲丙两線等一卷卅四即卯壬為 甲丙上直角方形又寅辛與丙乙两線 等一篇卅四即寅巳為丙乙上直角方形與乙丑等丙乙與乙 丁等故又乙辛辛巳两線亦各與丙乙等而甲辛子巳 两直角形各在甲乙丙乙矩線内即等子辛與甲乙等故寅 庚辛戊两直角形亦各在甲乙丙乙矩線内即又等 寅辛辛丑與丙乙乙丁等辛庚丑戊與等甲乙之子辛等故寅巳既與乙丑等而 每加一癸庚即乙丑癸庚并與寅庚又等是甲辛一 子巳二辛戊三乙丑四癸庚五五直角形并為午未 申磬折形與元線甲乙偕初分線丙乙矩内直角形 四等而午未申磬折形及卯壬直角方形本與甲戊 直角方形等則甲乙乙丙矩線内直角形四及甲丙 上直角方形并與甲乙偕丙乙上直角方形等 |
注曰以數明之設十數任分之為六為四如前圖 十六互乘之實四為二百四十及四之羃十六共 二百五十六與十六之羃等如後圖十四互乘之 實四為一百六十及六之羃三十六共一百九十 六與十四之羃等
- 第九題
一直線两平分之又任两分之任分線上两直角方形 并倍大于平分半線上及分内線上两直角方形并
解曰甲乙線平分于丙又任分于丁題言甲丁丁乙 上两直角方形并倍大于平分半線甲丙上分内線 丙丁上两直角方形并
論曰試于丙上作丙戊垂線與甲丙等次 作甲戊戊乙两腰次從丁作丁己垂線遇 戊乙于己從己作己庚線與甲乙平行遇 戊丙于庚末作甲己線其甲丙戊角形之甲丙丙戊 两腰等即丙戊甲丙甲戊两角亦等一卷五而甲丙戊 為直角即餘两角皆半直角一卷卅二之系依顯丙戊乙亦 半直角又戊庚己角形之戊庚己角為戊丙乙之外 角即亦直角一卷廿九而庚戊己半直角即庚己戊亦半 直角一卷卅二之系又庚戊己庚己戊两角等即庚戊庚己 两腰亦等一卷六依顯丁乙己角形之丁乙丁己两腰 亦等夫甲丙戊角形之丙為直角即甲戊線上直角 方形與甲丙丙戊線上两直角方形并等一卷四七而甲 丙丙戊上两直角方形自相等即甲戊上直角方形 倍大于甲丙上直角方形矣又戊庚己角形之庚為 直角即戊己線上直角方形與庚戊庚己線上两直 角方形并等一卷四七而庚戊庚己上两直角 方形自相等即戊己上直角方形倍大于 等庚己之丙丁上直角方形矣庚己丙丁為丙己直 角形之對邊故見一卷卅四則是甲戊戊己上两直角 方形并倍大于甲丙丙丁上两直角方形并也又甲 己上直角方形既等于甲戊戊己上两直角方形并 又等于甲丁丁己上两直角方形并一篇四七則甲丁丁 己上两直角方形并亦倍大于甲丙丙丁上两直角 方形并矣而丁己與丁乙等則甲丁丁乙上两直角 方形并豈不倍大于甲丙丙丁上两直角方形并也
注曰以數明之設十數两平分之各五又任分之 為七為三分内數二其七之羃四十九及三之羃 九倍大于五之羃二十五及二之羃四
- 第十題
一直線两平分之又任引増一線共為一全線其全線 上及引増線上两直角方形并倍大于平分半線上 及分餘半線偕引増線上两直角方形并
解曰甲乙直線平分于丙又任引増為 乙丁題言甲丁線上及乙丁線上两直 角方形并倍大于甲丙線上及丙丁線 上两直角方形并
論曰試于丙上作丙戊垂線與甲丙等自戊至甲至 乙各作腰線次從丁作己丁垂線引長之又從戊乙 引長之遇于庚次作戊己線與丙丁平行末作甲庚 線依前題論推顯甲戊乙為直角丙戊乙為半直角 即相對之戊庚己亦半直角一卷廿九又己為直角一卷卅四 即己戊庚亦半直角一卷卅二而己戊己庚两腰必等一卷 六依顯乙丁丁庚两腰亦等夫甲戊上直角方形等 于甲丙丙戊上两直角方形并一卷四七必倍大于甲丙 上直角方形而戊庚上直角方形等于戊己己庚上 两直角方形并一卷四七必倍大于對戊己邊之丙丁上 直角方形一卷卅四則甲戊戊庚上两直角方形并倍大 于甲丙丙丁上两直角方形并也又甲庚上直角方 形等于甲戊戊庚上两直角方形并亦等于甲丁丁 庚上两直角方形并則甲丁丁庚上两直角方形并 亦倍大于甲丙丙丁上两直角方形并也而甲丁乙 丁上两直角方形并倍大于甲丙丙丁上两直角方 形并矣丁庚與乙丁等故
注曰以數明之設十數平分之各五又任増三為 十三十三之羃一百六十九及三之羃九倍大于 五之羃二十五及八之羃六十四也
- 第十一題
一直線求两分之而元線偕初分線矩内直角形與分 餘線上直角方形等
法曰甲乙線求两分之而元線偕初分 小線矩内直角形與分餘大線上直角 方形等先于甲乙上作甲丙直角方形 次以甲丁線两平分于戊次作戊乙線次從戊甲引 増至己而戊己線與戊乙等末于甲乙線截取甲庚 與甲己等即甲乙偕庚乙矩線内直角形與甲庚上 直角方形等如所求
論曰試于庚上作壬辛線與丁己平行次作己辛線 與甲庚平行其壬庚與丙乙等即與甲乙等而庚丙 直角形在甲乙偕庚乙矩線内也又甲庚與甲己等 而甲為直角即己庚為甲庚上直角方形也一卷卅四今 欲顯庚丙直角形與己庚直角方形等者試觀甲丁 两平分于戊而引増一甲己是丁己偕甲己矩線内 直角形即丁辛直角形及甲戊上直角方形并與等戊己之 戊乙上直角方形等本篇六夫戊乙上直角方形等于 甲戊甲乙上两直角方形并一卷四七即丁辛直角形及 甲戊上直角方形并與甲戊甲乙上两 直角方形并等矣次各減同用之甲戊 上直角方形即所存丁辛直角形不與 甲乙上甲丙直角方形等乎此二率者又各減同用 之甲壬直角形則所存己庚直角方形與庚丙直角 形等而甲乙偕庚乙矩線内直角形與甲庚上直角 方形等也
注曰此題無數可解説見九卷十四題
- 第十二題
三邊鈍角形之對鈍角邊上直角方形大于餘邊上两 直角方形并之較為鈍角旁任用一邊偕其引増線 之與對角所下垂線相遇者矩内直角形二
解曰甲乙丙三邊鈍角形甲乙丙為鈍角 從餘角如甲下一垂線與鈍角旁一邊如 丙乙之引増線遇于丁為直角題言對鈍 角之甲丙邊上直角方形大于甲乙乙丙 邊上两直角方形并之較為丙乙偕乙丁 矩線内直角形二反説之則甲乙乙丙上两直角方 形及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并與甲丙上直 角方形等
論曰丙丁線既任分于乙即丙丁上直角 方形與丙乙乙丁上两直角方形及丙乙 偕乙丁矩線内直角形二并等本篇四此二 率者每加一甲丁上直角方形即丙丁甲 丁上两直角方形并與丙乙乙丁甲丁上 直角方形三及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并等 也夫甲丙上直角方形等于丙丁甲丁上两直角方 形并一卷四七即亦等于丙乙乙丁甲丁上直角方形三 及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并也又甲乙線上 直角方形既等于乙丁甲丁上两直角方形并一卷四七 即甲丙上直角方形與甲乙丙乙上两直角方形及 丙乙偕乙丁矩線内直角形二并等矣
- 第十三題
三邊鋭角形之對鋭角邊上直角方形小于餘邊上两 直角方形并之較為鋭角旁任用一邊偕其對角所 下垂線旁之近鋭角分線矩内直角形二
解曰甲乙丙三邊鋭角形從一角如甲向 對邊乙丙下一垂線分乙丙于丁題言對 甲丙乙鋭角之甲乙邊上直角方形小于 乙丙甲丙邊上两直角方形并之較為乙 丙偕丁丙矩線内直角形二反説之則乙 丙甲丙上两直角方形并與甲乙上直角方形及乙 丙偕丁丙矩線内直角形二并等
論曰乙丙線既任分于丁即乙丙丁丙上两直角方 形并與乙丙偕丁丙矩線内直角形二及 乙丁上直角方形并等本篇七此二率者每 加一甲丁上直角方形即乙丙丁丙甲丁 上直角方形三與乙丙偕丁丙矩線内直 角形二及乙丁甲丁上两直角方形并等 也又甲丙上直角方形等于丁丙甲丁上两直角方 形并一卷四七即乙丙甲丙上两直角方形并與乙丙偕 丁丙矩線内直角形二及乙丁甲丁上两直角方形 并等也又甲乙上直角方形等于乙丁甲丁上两直 角方形并一卷四七即乙丙甲丙上两直角方形并與乙 丙偕丁丙矩線内直角形二及甲乙上直角方形并 等反説之則甲乙上直角方形小于乙丙甲丙上两 直角方形并者為乙丙偕丁丙矩線内直角形二也
注曰題中止論鋭角形不言直角鈍角形而直角 鈍角形中俱有两鋭角一卷十七卅二即對鋭角邊上形 亦同此論如第二第三圖是但三鋭角形所作垂線任用 一角而直角形必用直角鈍角形必用鈍角此為 異耳直角鈍角形不用直角鈍角不能作垂線
- 第十四題
有直線形求作直角方形與之等
法曰甲直線無法四邊形求作直角 方形與之等先作乙丁形與甲等而 直角一卷四五次任用一邊引長之如丁 丙引之至己而丙己與乙丙等次以 丁巳两平分于庚其庚點或在丙點或在丙點之外 若在丙即乙丁是直角方形與甲等矣蓋丙己與乙丙等又與丙 丁等而餘邊俱相等故乙丁為直角方形見一卷卅四若庚在丙外即以庚為 心丁巳為界作丁辛巳半圜末從乙丙線引長之遇 圜界于辛即丙辛上直角方形與甲等
論曰試自庚至辛作直線其丁巳線既两平分于庚 又任两分于丙則丁丙偕丙巳矩内直角形即乙丁直角形 蓋丙己與乙丙等故及庚丙上直角方形并與等庚巳之庚辛 上直角方形等本篇五夫庚辛上直角方形等于庚丙 丙辛上两直角方形并一卷四七即乙丁直角形及庚丙 上直角方形并與庚丙丙辛上两直角方形并等次 各減同用之庚丙上直角方形則丙辛上直角方形 與乙丁直角形等
- 増題
凡先得直角方形之對角線所長于本形邊 之較而求本形邊
法曰直角方形之對角線所長于本形邊之較為 甲乙而求本形邊先于甲乙上作甲丙 直角方形次作乙丁對角線又引長之 為丁戊線而丁戊與甲丁等即得乙戊 線如所求
論曰試于乙戊作戊己垂線從乙甲線引長之遇 于己其乙戊己既直角而戊乙己為半直角一卷卅二 即戊己乙亦半直角而戊乙與戊己两邊等一卷六 次作己庚與戊乙平行作乙庚與戊己平行即戊 庚形為戊乙邊上直角方形也末作戊甲線即丁 戊甲丁甲戊两角等也一卷五夫乙戊己丁甲己既 两皆直角試每減一相等之丁戊甲丁甲戊角即 所存己戊甲己甲戊两角必等而己戊己甲两邊 必等一卷六則乙己對角線大于乙戊邊之較為甲 乙矣。
此増不在本書，因其方形，故類附于此。
幾何原本卷二
