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　　欽定四庫全書
　　數學鑰巻二
　　柘城杜知耕撰
　　方田下曲線類
　　一則
　　圓徑求周
　　設圓田徑二十八步求周法曰置徑為實以周法二十二乘之得六百一十六步以徑法七除之得八十八步即所求
　　解曰徑法七周法二十二者徑與周
　　之比例若七與二十二也何也西洋
　　亞竒黙德云圓徑與圓周三倍又七
　　十之十則朒謂周不及此數也三倍又七十
　　一之十則盈謂周過于此數也先論三倍又七十之十曰丁甲乙半圜戊為心從甲作午子切線從乙從丁作乙己壬丁線各與乙戊半徑等設乙戊己角六十度己戊甲角必三十度為六邊形之半角也末從心過己過壬作戊午戊子線成戊午子等角形己戊壬既六十度則午子為等角形之邊設甲午股一百五十三
　　步則戊午必三百零六步戊午元與午子
　　等午子既倍大于甲午則戊午亦必倍大于甲午各自乘甲
　　午股得二萬三千四百零九步戊午
　　得九萬三千六百三十六步兩數
　　相減餘七萬零二百二十七步平方
　　開之得二百六十五步有竒為戊甲
　　勾即半徑則戊甲與甲午之比例為二
　　百六十五步有竒與一百五十三步
　　次平分午戊甲角作戊庚線任分甲午于庚庚戊線割圜界于酉己酉甲酉兩弧等兩弧既等則酉戊己酉戊甲兩角必等故曰平分甲庚庚午兩線不等故曰任分則午戊與戊甲若午庚與甲庚合之戊午偕戊甲而與戊甲若午庚偕甲庚而與甲庚更之戊午並戊甲而與甲午甲午即午庚偕甲庚若戊甲與甲庚先定戊午戊甲並為五百七十一步有竒午甲為一百五十三步則戊午並戊甲與甲午之比例若五百七十一步有竒與一百五十三步則戊甲與甲庚之比例亦若五百七十一步有竒與一百五十三步矣即以兩數各自乘並而開方得五百九十一步又八之一不盡為庚戊線戊甲為勾甲庚為股庚戊為則庚戊與甲庚之比例若五百九十一步又八之一不盡與一百五十三步次平分庚戊甲角作戊辛線則戊庚並戊甲一千一百六十二步又八之一與庚甲一百五十三步若戊甲與甲辛若設甲辛為一百五十三步則戊甲為一千一百六十二步又八之一有竒兩數各自乘並而開方得一千一百七十二步又八之一為辛戊線甲戊為勾甲辛為股辛戊為則辛戊與辛甲之比例若一千一百七十二步又八之一與一百五十三步次平分辛戊甲角作戊寅線則辛戊並戊甲二千三百三十四步又四之一與辛甲一百五十三步若戊甲與甲寅設甲寅為一百五十三步則戊甲為二千三百三十四步又四之一兩數各自乘並而開方得二千三百三十九步又四之一有竒為寅戊線戊甲為勾甲寅為股寅戊為則寅戊與寅甲之比例若二千三百三十九步又四之一有竒與一百五十三步次平分寅戊甲角作未戊線則寅戊並戊甲四千六百七十三步五分有竒與寅甲一百五十三步若戊甲與甲未若設甲未為一百五十三步則戊甲為四千六百七十三步五分有竒子戊午為半圜三分之一即為全圜六分之一甲戊午為十二分之一甲戊庚為二十四分之一甲戊辛為四十八分之一甲戊寅為九十六分之一甲戊未為一百九十二分之一復作甲戊申角與甲戊未角等成未戊申三角形未甲申其切線也為九十六邊形之一邊此邊與全徑之比例若一百五十三步與四千六百七十三步五分未申倍大于未甲乙丁全徑亦倍大于甲戊半徑以一百五十三步乘九十六邊得一萬四千六百八十八步則全邊與全徑之比例為一萬四千六百八十八步與四千六百七十三步五分約之為三又七之一不足夫形外切線尚不及三又七之一況圜周乎　次論三倍又七十一之十曰乙甲丙半圜乙丙徑戊心從丙作丙甲與半徑戊丙等甲丙即六邊形之一邊從乙作乙甲線成乙甲丙勾股形而甲為方角設甲丙勾為七百八十步乙丙為一千五百六十步兩數各自乘相減開方得一千三百五十一步不足為乙甲股則乙甲與甲丙之比例為一千三百五十一步與七百
　　八十步次平分甲乙丙角作乙丁線
　　以丁丙聨之成丁乙丙丙丁己兩勾
　　股形自相似葢同用丁方角在半圜
　　内甲丁丁丙兩線所乘之弧等則丁
　　丙己丁乙丙兩弧之角必等凡兩形
　　有兩角等者各腰俱相似則乙丁大股與丙丁大勾若丁丙小股與丁己小勾又乙
　　丙大與丁丙大勾若己丙小與丁己小勾
　　更之乙丙與己丙兩若丁丙與丁己兩勾是乙丁與丁丙兩股丁丙與丁己兩勾乙丙與己丙兩三比例皆等又乙丙與己丙兩若乙丙並甲乙兩腰與甲丙底之兩分則乙丁與丁丙亦若乙丙並乙甲與甲丙先定乙甲一千三百五十一步弱乙丙一千五百六十步是乙甲乙丙並為二千九百一十一步弱甲丙先設七百八十步則乙丁與丁丙亦為二千九百一十一步弱與七百八十步各自乘並而開方得三千零一十三步又四之一弱為乙丙線乙丁丙形之則乙丙與丁丙之比例為三千零一十三步又四之一弱與七百八十步次平分丁乙丙角作辛乙線依前論丁乙並乙丙與丙丁若乙辛與辛丙先定乙丙三千零一十三步又四之一弱乙丁二千九百一十一步弱並為五千九百二十四步又四之一弱今丙丁為七百八十步則乙辛與辛丙為五千九百二十四步又四之一弱與七百八十步欲省數改設辛丙二百四十步改設乙辛一千八百二十三步弱兩數各自乘並而開方得一千八百三十八步又十一之九弱為乙丙線乙辛丙形之則二百四十步與一千八百三十八步又十一之九弱為丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬線以壬丙線聨之辛乙乙丙兩數並三千六百六十一步又十一之九弱與辛丙二百四十步為乙壬與壬丙之比例又改設壬丙六十六步改設乙壬一千零七步弱兩數各自乘並而開方得一千零九步弱則六十六步與一千零九步弱為壬丙與乙丙之比例末平分壬乙丙角作乙庚線以庚丙線聨之乙庚與庚丙若壬乙並乙丙二千零一十六步又六之一與丙壬六十六步兩數各自乘並而開方得二千零一十七步又四之一弱為乙丙線乙庚丙形之則庚丙與乙丙之比例為六十六步與二千零一十七步又四之一弱丙甲弧為全圜六分之一丙丁十二分之一丙辛二十四分之一丙壬四十八分之一丙庚九十六分之一是丙庚為九十六邊内切圜形之一邊也以六十六步乘九十六邊得六千三百三十六步為九十六邊内切形之周乙丙徑為二千零一十七步又四之一弱約之徑一周三又七十一之十強夫圜内切線為三又七十一之十尚強況圜周乎○按三又七十一之十設徑一則周三一四零八四五零七零四二二有竒設周一則徑三一八三八五六五零二二再約之徑七十一步周二百二十三步三又七十之十設徑一則周三一四二八五七一四二八五七有竒設周一則徑三一八一八一八一八一八有竒再約之徑七步周二十二步兩數皆不能與周徑脗合但徑七周二十二其數少整姑從之
　　二則
　　圓周求徑
　　設圓田周八十八步求徑法曰置周為實以徑法七因之得六百一十六步以周法二十二除之得二十八步即所求
　　解曰即前法反用之
　　三則
　　圓周徑求積
　　設圓田周八十八步徑二十八步求積法曰置周折半得四十四步為實以徑折半得一十四步為法乘之得六百
　　一十六步即所求
　　解曰圓形與半徑為高全周為底之
　　三角形等何也測量全義云甲乙丙
　　丁圜自戊心百分之必皆成三角形
　　而己戊甲其百分之一也次依甲戊半徑作庚戊辛三角形令庚辛底與圜之全周等自戊角百分之亦必皆成三角形而甲戊壬其百分之一也己戊甲甲戊壬兩分形己甲甲壬兩底既等又戊甲同高因推其容必等夫百倍己戊甲為甲乙丙丁全圜百倍甲
　　戊壬為庚戊辛三角形兩分形既等
　　兩全形有不等乎故法以半徑乘半
　　周得庚戊辛三角形之積即得甲乙
　　丙丁圜之積也○或云己戊甲雖全
　　圜百分之一其底終屬曲線不可與
　　直線三角形為比不知甲戊壬角大
　　于己戊甲角而己戊甲中垂線大于
　　甲戊壬中垂線兩相折准即謂之無
　　差亦可
　　四則
　　圓徑求積
　　設圓田徑二十八步求積法曰置徑自乘得七百八十四步再以十一乘之得八千六百二十四步以十四除之得六百一十六步即所求
　　解曰測量全義云甲乙丙丁圜庚戊辛三角形以半徑為高以圜周為底己壬為圜徑上方形己丁直形以全徑為濶以半徑為高而為己壬方形之半己戊癸三角形亦以全徑為濶半徑為高而為己丁直形
　　之半己戊癸形既為己丁直形之半
　　必為倍大于己丁之己壬方形四之
　　一又己戊癸與庚戊辛兩形同以半
　　徑為高凡兩形等高者形與形之比
　　例若線與線兩線即兩底○一巻四十五則今庚辛
　　底與圜周等己癸底與圜徑等是己
　　戊癸庚戊辛兩形之比例若圜徑七
　　與圜周二十二若以四倍大于己戊
　　癸之己壬方形與庚戊辛三角形較
　　其比例必若二十八與二十二矣各以二約之為十四與十一夫庚戊辛三角形與圓形等本巻三則故方圓之比例亦若十四與十一法以圓徑自乘求己壬方形之積也以十一乘十四除取方積十四分之十一以為圓積也
　　五則
　　圓周求積
　　設圓田周八十八步求積法曰置周自乘得七千七百四十四步以七因之得五萬四千二百零八步以八十八除之得六百一
　　十六步即所求
　　解曰戊己庚辛圜
　　戊己徑與甲乙丙
　　丁圜周等則兩圜
　　之比例為其徑與
　　徑再加之比例再
　　加云者以兩徑各
　　自乘之數以為比
　　例也設甲乙徑七
　　戊己徑二十二甲乙自乘得四十九戊己自乘得四百八十四是兩圜之比例若四十九與四百八十四又壬癸方形與戊己庚辛圜元若十四與十一本巻四則今戊己庚辛圜既為四百八十四壬癸方形必六百一十六是壬癸方形與甲乙丙丁圜必若六百一十六與四十九矣各以七約之為八十八與七法以圜周自乘即壬癸方形之積也以七乘八十八除取方積八十八分之七以為甲乙丙丁圜積也
　　六則
　　圓積求徑
　　設圓田積六百一十六步求徑法曰置積為實以十四乘之得八千六百二十四步以十一除之得七百八十四步平方開
　　之得二十八步即所求
　　解曰以十四乘十一除者因圜積以
　　求戊己方積也平方開之得方邊即
　　得圜徑者方邊與圜徑等也
　　七則
　　圓積求周
　　設圓田積六百一十六步求周法曰置積為實以八十八乘之得五萬四千二百零八步以七除之得七千七百四十四步平方開之得八十八步即所求
　　解曰以八十八乘七除者因圜積以求圜周上方積也本巻五則故平方開之得圜周
　　八則
　　圓環求積
　　設環田外周六十六步内周一十一步求積法曰置内外兩周各自乘外周得四千三百五十六步内周得一百二十一步兩數相減餘四千二百三十五步以七乘之得二萬九千六百四十五步以八十八
　　除之得三百三十六步八分七釐五
　　毫即所求
　　解曰與方環求積同一巻三十三則及本巻五則

　　九則
　　圓環以積及内周求外周
　　設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫内周一十一步求外周法曰置積為實以八十八乘之得二萬九千六百四十五步以七除之得四千二百三十五步另置内周自乘得一百二十一步兩數並共四千三百五十六步平方開之得六十六步即所求
　　解曰兩數並共成周上方積故平方開之得外周十則
　　圓環以積及外周求内周
　　設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫外周六十六步求内周法曰置外周自乘得四千三百五十六步另置環積以八十八乘之得二萬九千六百四十五步以七除之得四千二百三十五步兩數相減餘百二十一步平方開之得一十一步即所求
　　解曰外周上方積減去八十八乘七除之環積所餘即内周上方積也故平方開之得内周
　　十一則
　　圓環以積及内外周求環濶
　　設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫外周六十六步内周一十一步求環濶法曰置積為實以兩周相並共七十七步折半得三十八步五分為法除之得八步七分五釐即所求
　　解曰全圓既同三角形則圓環必同梯形圓環之兩周猶梯形之兩濶也圓環之濶猶梯形之中長也故用梯形求長法一巻四十八則即得環濶
　　十二則
　　圓環以兩周求環濶
　　設圓環田外周六十六步内周一十一步求環濶法曰置兩周各以七乘之外周得四百六十二步内周得七十七步各以二十二除之外周得二十一步内周得三步五分兩數相減餘一十七步五分折半得八步七分五釐即所求
　　解曰外周所得者圓之全徑也内周所得者環内虚徑也全徑減虚徑所餘即環之兩濶故折半得一濶也
　　十三則
　　圓環以積及濶求兩周
　　設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫濶八步七分五釐求兩周法曰置積為實以濶除之得三十八步五分另置濶以二十二乘之得一百九十二步五分以七除之得二十七步五分與三十八步五分相並得六十六步即外周與三十八步五分相減得一十一步即内周解曰此亦梯形求濶法也法以環濶除積所得之三十八步五分即兩環周之中度也環濶為全徑與虚徑相差之半以二十二乘七除則為内外兩周相差之半矣故以之增減兩周之中度得兩周也
　　十四則
　　圓環以積及濶求徑
　　設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫濶八步七分五釐求全徑及虚徑法曰置積以十四乘之得四千七百一十六步二分五釐十一除之得四百二十八步七分五釐另置濶自乘得七十六步五分六釐二毫五絲以四因之得三百零六步二分五釐兩數相減餘一百二十二步五分為實以四因濶得三十五步為法除之得三步五分即虚徑倍濶得一十七步五分加之得二十一步即全徑
　　解曰置積以十四乘十一除者令圓環積化為方環積也餘即方環求内方法一巻五十六則
　　十五則
　　圓環以全徑及虚徑求積
　　設圓環田全徑二十一步虚徑三步五分求積法曰置兩徑各自乘全徑得四百四十一步虚徑得一十二步二分五釐兩數相減餘四百二十八步七分五釐以十一乘之得四千七百一十六步二分五釐十四除之得三百三十六步八分七釐五毫即所求解曰兩徑各自乘相減者求方環積也十一乘十四除者因方環積以求圓環積也
　　十六則
　　撱圓求積
　　設撱圓田大徑九十步小徑四十步求積法曰置兩徑相乘得三千六百步以十一乘之得三萬九千六百步以十四除之得二千八百二十八步五分七釐有竒即所求
　　解曰西洋亞竒黙德云取撱
　　圓兩徑之中率為徑作圓其
　　容與撱圓等四九之中率為六謂四之與六
　　猶六之與九也夫求中率之法以兩
　　徑相乘平方開之即得然中率自乘之數實即兩徑相乘之數故法以兩徑相乘十一乘十四除為撱圓積也撱圓形狀不同恐不能無小差
　　十七則
　　弧矢求積
　　設弧矢田矢濶五步長一十七步三分二釐有竒背二十步零九分五釐二毫有竒離徑五步求積法
　　曰置背以離徑並矢共十步乘
　　之得二百零九步五分二釐三毫有竒另置
　　以離徑乘之得八十六步六分有竒兩
　　數相減餘一百二十二步九分二釐三毫有竒
　　折半得六十一步四分六釐一毫有竒即所求解曰甲乙丙弧矢形戊為圜心自甲自乙作甲戊乙戊兩線成甲戊乙丙雜線形其丙丁矢與丁戊離徑並即全圓之半徑甲丙乙背又為圓周之分線求積之法當與圓同夫圓以半徑乘周折半得積本巻三則則雜線形亦必以半徑乘背折半得積矣又雜線形内以甲乙線分之必成一甲乙丙弧矢形一甲戊乙三角形其三角形以甲乙為濶以丁戊離徑為高若以高乘濶折半必得三角形之積一巻五則于雜線形内減去三角積所餘非弧矢積而何故法以半徑乘背離徑乘相減折半得積也相減而後折半與各折半而後相減得數同十八則
　　弧矢形以積矢及離徑求背
　　設弧矢田積六十一步四分六釐一毫有竒矢五步
　　一十七步三分二釐有竒離徑五
　　步求背法曰置積倍之得一百二十二步九分二
　　釐三毫有竒另置以離徑乘之得八十六步六
　　分有竒兩數並得二百零九步五分二釐三毫有竒以矢
　　並離徑共十步除之得二十步零九分五釐二毫有竒即所求
　　解曰即前則求積法反用之
　　十九則
　　弧矢形以矢求餘徑求全徑離徑半徑附
　　設弧矢田矢五步一十七步三分二釐有竒求餘徑法曰置折半得八步六分六釐有竒自乘得七十五步以矢除之得一十五步即所求
　　解曰甲乙丙弧矢形丙丁為矢丁戊為離徑丁己為
　　餘徑自圓心戊作
　　戊乙線成丁戊乙
　　勾股形丁乙半
　　為股丁戊離徑為
　　勾戊乙半徑為
　　另作辛夘形為丁
　　戊勾上方形庚壬形為戊乙上方形夫庚壬之大于辛夘者為癸丑子磬折形癸丑子磬折形必等于乙丁股上方形何也上方形與勾股上兩方形並等故也六巻一則若移子于寅則成癸丑寅直形必以勾較為濶勾和為長今戊乙等于戊丙戊丙之大于丁戊勾者為丙丁是丙丁矢即勾較也故以矢除丁乙半弧矢形之自乘之積即得勾和又乙戊勾股形之既半徑必與戊己等戊己合丁戊非丁己餘徑而何○求得餘徑加矢即全徑減矢折半即離徑加矢折半即半徑
　　二十則
　　弧矢形以矢徑求
　　設弧矢田矢五步徑二十步求法曰以矢減徑餘一十五步以矢乘之得七十五步平方開之得八步六分六釐有竒倍之得一十七步三分二釐有竒即所求
　　解曰依前解矢與餘徑相乘之數即半自乘之數故平方開之得半倍之得全也
　　二十一則
　　弧矢形以離徑半徑求
　　設弧矢田半徑十步離徑五步求法曰置半徑離徑各自乘半徑得一百步離徑得二十五步兩數相減餘七十五步平方
　　開之得八步六分六釐有竒倍之得一十七步
　　三分二釐有竒即所求
　　解曰半徑乙戊為勾股形之離徑丁
　　戊為勾求得乙丁股即半也弧矢形之
　　故倍之得全
　　二十二則
　　弧矢形以及餘徑求矢
　　設弧矢田一十七步三分二釐有竒餘徑一十五步求矢法曰置折半得八步六分六釐有竒自乘得七十五步以餘徑除之得五步即所求
　　解曰依十九則解半自乘之數即矢偕餘徑相乘之數故以餘徑除之得矢
　　二十三則
　　弧矢形以及全徑求矢
　　設弧矢田一十七步三分二釐有竒全徑二十步求矢法曰置徑各自乘得三百步徑得四百步兩數相減餘一百步平方開之得十步以減全徑餘十步折半得五步即所求
　　解曰全徑上方形當矢偕餘徑矩内形四及矢與餘徑之較線上方形一一巻十三則全上方形當半上方形四又半上方形與矢偕餘徑矩内形等本巻十九則于全徑上方積内減去全上方積即減去矢偕餘徑矩内積四也則所餘必矢與餘徑之較線上方積平方開之即得矢與餘徑之較線故以之減徑折半得矢也
　　二十四則
　　弧矢形以半半徑求矢
　　設弧矢田半八步六分六釐有竒半徑十步求矢法曰置半半徑各自乘半得七十五步半徑得一百步兩數相
　　減餘二十五步平方開之得五步以減半徑
　　得五步即所求
　　解曰半丁乙為股戊乙半徑為
　　求得丁戊勾即離徑也故以之減半
　　徑得矢
　　二十五則
　　弧矢形以半及離徑求矢
　　設弧矢田半八步六分六釐有竒離徑五步求矢法曰置半離徑各自乘半得七十五步離徑得二十五步兩數並得一百步平方開之得十步減去離徑得五步即所求解曰半丁乙圖同前則為股離徑丁戊為勾求得乙戊即徑也故減去離徑得矢
　　二十六則
　　弧矢形以半徑半較及半離徑較求矢與設弧矢田半徑多半一步三分四釐弱半多離徑三步六分六釐強求矢及法曰並兩數共五步以半徑多半之數乘之得六步七分倍之得一十三步四分平方開之得三步六分六釐以加半徑多半之數得五步即離徑再加半多離徑之數得八步六分六釐即半再加半徑多半之數得十步即半徑半徑減去離徑餘五步即矢
　　解曰戊乙半徑圖同二十四則多于丁乙半之數即股較丁乙半多于丁戊離徑之數即勾股較勾股較並股較即勾較此即勾較股較求勾股法也六巻二十則
　　二十七則
　　舊弧矢法以矢求積
　　設弧矢田矢十步二十步求積法曰置矢相並共三十步折半得一十五步以矢乘之得一百五十步即所求解曰舊説圓徑一周三甲乙丙丁圓徑二十步周六
　　十步甲乙丙弧矢形為全圓之半其
　　背為全周之半必三十步法以矢
　　相並即與弧背等折半以矢乘之猶
　　圓法以半徑乘周折半得積之義也
　　本巻三則以舊法論全圓得積三百步而半圓之弧得積一百五十步與圍三徑一之數脗合無差過此以往其矢漸短弧形漸細其差漸多甚至百步之積有差至二十餘步者即如十七則弧矢田一十七步三分二釐有竒矢五步依舊法求之止得積五十五步八分較前法所求之積則少五步六分六釐有竒前法雖密于舊法然必背矢皆具方可起算舊法有矢有即可得積故並存之
　　二十八則
　　舊弧矢法以積矢求
　　設弧矢田積五十五步八分矢五步求法曰置積倍之得一百　十一步六分以矢除之得二十二步三分二釐減去矢餘
　　一十七步三分二釐即所求
　　解曰舊法以矢乘半半矢得弧矢
　　積若以矢除弧矢積必仍得半半
　　矢以矢除弧矢積既得半半矢以
　　矢除弧矢之倍積不得一一矢乎一一矢内減去一矢所餘非而何
　　二十九則
　　舊弧矢法以積求矢
　　設弧矢田積五十五步八分一十七步三分二釐求矢法曰置積八因之得四百四十六步四分另置自乘得二
　　百九十九步九分八釐二毫四絲兩數並共七百四十六步三
　　分八釐二毫四絲平方開之得二十七步三分二釐減
　　去餘十步折半得五步即所求
　　解曰甲丁方形邊與一二矢等甲
　　戊乙己丁庚丙辛各與矢等其戊己
　　等四直形即矢偕一一矢矩内形壬子即上方形也又弧矢形以矢乘半半矢得積本巻二十七則而當一直形之半則四直形必當八弧矢積矣是一二矢上方形與上方積一及弧矢積八並等反之則上方積一及弧矢積八並為一方其邊必一二矢也法並兩數以平方開之所得即一二矢之度故減折半得矢也○舊弧矢法背積及徑輾轉相求共三百二十六法實亦不出十七則以下十法之外其不能該者止以上三法耳故存之
　　三十則
　　增弧矢法以矢求積
　　設甲乙丙弧矢田丙丁矢五步甲乙一十七步三分二釐有竒求積法曰有矢與可得丁壬餘徑餘徑加矢可得丙壬全徑本卷十九則甲己與丙壬等即以
　　甲己為甲乙為股求乙巳勾得十
　　步六卷三則為乙巳庚餘弧之又將乙
　　己折半得巳辛復為勾戊巳半徑為
　　求戊辛股以減半徑戊庚與戊巳等餘庚
　　辛一步三分四釐為乙己庚餘弧之矢另求甲己徑上半圓積得一百五十七步一分四釐二毫八絲○本巻三則次求甲乙己勾股積得八十六步六分○一巻四則與半圓積相減餘七十步零五分四釐二毫八絲為甲乙丙與乙己庚兩弧之共積置為實兩弧各以三一矢相並以矢乘之甲乙丙弧得二百八十四步八分乙己庚弧得四十一步九分九釐五毫六絲以甲乙丙弧數乘實得二萬零九十步零五分八釐九毫四絲四忽並兩弧數共三百二十六步七分九釐五毫六絲除之得六十一步四分七釐七毫五絲有竒即所求
　　解曰此借兩弧三一矢以矢乘之之數為比例以分共積也此法較舊法為密然大弧既盈則小弧必朒較十七則未免有千一之差如必欲得弧積眞數密量弧背從十七則可也
　　三十一則
　　圓截圓
　　設圓田徑二十一步依外周截積三
　　百三十六步八分七釐五毫求餘圓
　　徑法曰置徑自乘得四百四十一步另置截
　　積以十四乘之得四千七百一十六步二分五釐十
　　一除之得四百二十八步七分五釐兩數相減餘一十二步二分五釐平方開之得三步五分即所求
　　解曰此與方環截積同一巻五十六則
　　三十二則
　　圓截弧矢舊法
　　設圓田徑一十三步截弧矢積三十
　　二步求矢法曰置截積自乘得一千零二十
　　四步為實用商法商矢四步即以所商
　　之矢乘截積得一百二十八步為上亷另以
　　矢每步加負隅二分五釐得五步與徑相減餘八步為餘徑又以所商之矢自乘得一十六步以乘餘徑得一百二十八步為下亷並兩亷共二百五十六步為法除實得四步即所求
　　解曰弧矢之積元以矢乘半半矢而得本巻二十七則若以半半矢相並除積必得矢法置截積自乘是倍截積為三十二若以三十二半與三十二半矢並除倍積必亦得矢法以矢乘截積得三十二全矢是多三十二半矢少三十二半若以半大于半矢
　　之數三十二倍之與三十二全矢並
　　即與三十二半三十二半矢相並
　　之數同今無半數須以矢乘餘徑
　　以為半自乘之方本巻十九則如甲乙
　　方形甲己為半甲丁為半矢丁己為半矢較即半大于半矢之度則丁己乙戊直形必半矢較以半為倍數者也庚辛等于丁己庚丙等于甲丁則庚丙戊辛直形必半矢較以半矢為倍數者也兩直形並再以矢乘之必半矢較以截積三十二為倍數者也何也弧矢之積元以矢乘半半矢而得故也甲乙大方形減去丁己乙戊與庚丙戊辛兩直形餘甲丙小方形為甲丁半矢之冪法所謂負隅也負隅既為半矢之冪必為全矢冪四分之一故法以二分五釐為負隅也法用矢自乘以乘餘徑與用矢乘餘徑再以矢乘之得數同也○按元注云所得之矢過于所商之矢為約矢太短不及所商之矢為約矢太長宜更商之商約之法既無一定惟以意斟酌之若整齊之矢或一二商可得苟遇畸零之矢必至千百商不能得者古人于此條實無善法姑以此考驗所商之合否耳若止欲考驗所商之合否又何如以所商之矢求半本巻二十則再加半矢以矢乘之本巻二十七則合積為準過積為約矢太長不及積為約矢太短不較捷乎
　　三十三則
　　弧矢截雜線三角形
　　設半圓弧矢田二十步自心截雜線三角形背長一十步零四分七釐六毫一絲六忽求截積法曰置
　　截背以折半得十步乘之得一百零四步七分
　　六釐一毫六絲折半得五十二步三分八釐
　　零八絲即所求
　　解曰雜線三角形為圓之分形故求
　　積之法同圓本巻三則
　　三十四則
　　方内減圓以餘積求圓積
　　設方田減去内切圓田四隅餘積一百六十八步求圓積法曰置積為實以圓法十一乘之得一千八百四十八步
　　以圓法十一與方法十四相減餘三
　　為法除之得六百一十六步即所求
　　解曰圓既為方十四分之十一則方
　　内減圓之餘積必為方十四分之三
　　圓十一分之三矣故十一乘三歸得圓積也
　　三十五則
　　方内減圓以餘積求方積求方邊圓徑附
　　設方田減去内切圓田四隅餘積一百六十八步求方積法曰置積為實以十四乘之得二千三百五十二步以圓法十一與方法十四相減餘三為法歸之得七百八十四步即所求
　　解同前○置方積平方開之即方邊亦即圓徑三十六則
　　圓内減方以餘積求方積求方邊圓徑附
　　設圓田減去内切方田餘積二百二
　　十四步求方積法曰置積為實以七
　　乘之得一千五百六十八步以七與圓法十一
　　相減餘四為法歸之得三百九十二
　　步即所求
　　解曰内切方形之與外切方形之邊等則内切方形必倍小于外切方形而若七之與十四夫圓既為外方十四分之十一而内方不為圓十一分之七乎圓内減方之餘積為圓十一分之四即為内方七分之四故七乘四除得内切方積也○置方積平方開之即得方邊倍方積平方開之即得圓徑
　　三十七則
　　圓内減方以餘積求圓積
　　設圓田減去内切方田餘積二百二十四步求圓積法曰置積為實以圓法十一乘之得二千四百六十四步以圓法十一與七相減餘四為法歸之得六百一十六步即所求
　　解同前
　　三十八則
　　方内減不相切之圓以餘積求方邊及圓徑
　　設方田内減圓田方邊至圓周五步餘積一千七百二十五步求方邊及圓徑法曰置五步自乘得二十五步以三因之得七十五步與餘積並共一千八百步另置五步以六因之得三十步為縱方以平方帶縱開之得九十步　一巻十三則減
　　去縱方餘六十步即方邊再
　　減兩邊各五步共十步餘五十
　　步即圓徑
　　解曰依圖分之成甲乙等方
　　形四子丑等直形八乾坎等
　　雜線三角形四其甲乙等四形即方邊至圓周五步自乘之方形也子丑等八形亦各以五步為濶其長
　　則圓之半徑也乾坎等四形
　　為方減内切圓形之餘積以
　　方四圓三推之舊法謂方内容圓圓居方
　　四分之三四形並必當方四分之
　　一乾坎艮三形並必足以補
　　癸形之闕而與一小方二直
　　形一雜形並共凑成一坤震
　　方形矣次移甲于丁移乙于
　　戊移丙于己移子于午移丑于未移寅于申移夘于酉移辰于戌移巳于亥尚闕庚辛壬三形故法取方邊至圓周之五步自乘以三因之加入積内也自壬至丁凡六形每形濶五步共計三十步故法取方邊至圓周之五步以六因之為縱方也帶縱開方法置積四因之縱方自乘兩數並平方開之得長濶相和之度即兑巽與巽震並減去縱方即兑坤餘兩濶即坤巽與巽震並即方邊方邊之大于圓徑者為兩邊之各五步故減之得圓徑本則及下則皆用周三徑一法
　　三十九則
　　圓内減不相切之方以餘積求圓徑及方
　　設圓田内減方田圓周至方角一步餘積四十三步
　　求圓徑及方法曰置一步
　　自乘仍得一步以二因之得二步與
　　餘積並並四十五步另置一步以
　　四因之得四步為縱方以平方
　　帶縱開之得一十四步減去縱方
　　即圓徑再減圓周至方角各一步共二步餘八步即方
　　解曰依内方角作一圓線此圓線偕外圓周必成一圓環形次依環濶改作方環圓環當方環四分之三
　　故止作方環之三隅即與圓
　　環等依圖分之成甲乙丙三
　　方形丁戊己庚辛壬六直形
　　尚餘癸子丑寅四弧矢形為
　　圓減内切方形之餘積以圓
　　三方二推之舊法謂圓内容方方居圓三分
　　之二四弧矢形並當圓三分之
　　一必當内方二分之一而夘癸辰方形亦當内方二分之一則四弧矢形必能補夘癸辰方形之闕而與辛壬丙三形並共輳成一震坎方形矣次移甲于巳移乙于午移丁于酉移戊于戌移己于亥移庚于乾尚闕未申二形故法取圓周至方角一步自乘二因之補入積内也自巳至申凡四形每形濶一步共四步故取圓周至方角之一步四因之為縱方也以平方帶縱開之得巽艮艮坎長濶相和之度減去縱方巽震餘震艮艮坎兩濶即圓徑圓徑之大于方者為兩邊之各一步故減之得方
　　四十則
　　諸雜線形求積
　　第一圖可作一弧矢形而減一弧矢形第二圖可作半弧矢形而減半弧矢形第三圖可作兩弧矢形第四圖移甲丙實形補乙丁虚形成戊三角形又移己實形補庚虚形成辛三角形壬癸子各成三角形丑自成弧矢形此一大形内成三角形五弧矢形一第五圖甲乙各自成弧矢形丙丁辛各自成三角形移
　　戊實形補
　　己虚形庚
　　亦成三角
　　形癸借壬
　　虚形亦成
　　三角形得積
　　減去壬圓形此
　　一大形内
　　成弧矢形二三角形五而減一圓形凡屬雜線形者裁之數學鑰巻二
















　　皆依五形例
<子部,天文算法類,算書之屬,數學鑰>